Un artista ha construido con 14 cubos iguales de 1 cm. de lado esta torre de tres pisos (ver figura). Quiere pintar toda la superficie exterior.
a) ¿Cuántos centímetros cuadrados debe pintar?
b) ¿Y si la torre tuviese 11 pisos?
3/7/11
Problema 48: Torre de cubos
Un artista ha construido con 14 cubos iguales de 1 cm. de lado esta torre de tres pisos (ver figura). Quiere pintar toda la superficie exterior.
a) ¿Cuántos centímetros cuadrados debe pintar?
b) ¿Y si la torre tuviese 11 pisos?
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Datos: formula de Gauss para la suma de los n primeros números n(n+1)/2
ResponderEliminarDesarrollo:
Calcular el área a pintar de la torre cuando tiene
1 piso: 5
2pisos: 5 +4*2 +4*3/4 =16
(5 representa el piso anterior
4*2 representa superficie cara de los lados
3/4 representa la esquina de uno de los pisos que queda tapada por el piso de arriba)
3pisos: 16+ 4*3 + 4*3/4 + 4*1/2=33
(se agrego 4*1/2 porque entre las esquinas queda la mitad de una de las caras del cubo)
4 pisos: 33 + 4*4 + 4*3/4 + 2*4*1/2=56
Ahora para calcular con 11 pisos debemos encontrar una función que modele esta situación
Sea n= numero de pisos
1 + 4( 1+2+3+4+….+n) + 4*1/2*(1+2+3+4+...+n-2) + 4*3/4*(n-1)
1 representa la cara de arriba del ultimo cubo
4( 1+2+3+4+….+n) es la suma de las caras de los lados de cada piso
4*1/2*(1+2+3+4+...+n-2) es la suma de la mitad de la cara que se ve entre las esquinas superiores
4*3/4*(n-1) es la suma de las esquinas
Pero la formula anterior no puede quedar expresada con ( 1+2+3+4+….+n) para eso usaremos la forma de gauss
( 1+2+3+4+….+n)= n(n+1)/2 entonces la forma quedaría
1 + 4 n(n+1)/2 + 4*1/2*(1+n-2)(n-2)/2 + 4*3/4*(n-1)
Simplificando queda n(3n+2)
f(x)= x(3x+2) es la función que modela la situacion
RESPUESTA
A) CON 3 PISOS DEBE PINTAR 33 CENTIMETROS CUADRADOS
B) con 11 pisos f(x)= x(3x+2)
f(11)=11(3*11+2)
f(11)= 385
SE PINTAN 385 CENTIMETROS CUADRADOS
para la torre de 3 pisos tambien me sale 33 y lo hice asi:
ResponderEliminar4+8+12 = 24
+
9
____________
total 33
¿Por qué debemos suponer que la torre de 11 pisos tiene que tener más cubos?Es perfectamente posible diseñar una torre de 11 pisos con los mismos 14 cubos y,en ese caso,la respuesta sería otra. Lo planteo como un desafío alternativo.
ResponderEliminarAlexis, en el problema se da 14 cubos para tres pisos solo pa' que sepamos que tiene capas cuadradas. si tiene 11 pisos sera con capas cuadradas y se usaran mas cubos ¿?. Pero vale tu comentario.
ResponderEliminarComo halló la cantidad de cubos que se utilizará en una torre de 5 pisos, de 11 pisos y n pisos
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