25/7/11

Problema 53: Encontrando un área


El cuadrilátero ABCD es un cuadrado de lado 24cm. EL punto P está en el lado BC, T en el lado AB, y M es el punto de intersección de AP y TD. Si BP=3*PC y AT=2*TB, entonces ¿Cuál es el área del triángulo ATM?

5 comentarios:

  1. qwesx7/27/2011

    Con los datos puedo calcular la medidas de
    AT=16
    TB=24
    BP=18
    PC=6

    Si copio ese cuadrado en el plano cartesiano dejando A en el origen y tomando así solo el primer cuadrante puedo calcular la ecuación de la recta que pase por A(0,0) y P(24,6)
    y-0=(6/24)(x-0)
    y=x/4
    y también calculo la de la recta que pasa por D(0,24) y T(16,0)
    y-24=(-24/16)(x-0)
    y-24=-3x/2

    Luego teniendo las dos ecuaciones puedo determinar el punto M donde se intersectan mediante un sistema de ecuaciones
    Ecuación1: y=x/4
    Ecuacion2: y-24=-3x/2
    Llegare a que la solución es el pto(96/7 , 24/7)

    Entonces puedo decir que el trazo perpendicular que pase por M mide 24/7 y este es la altura y como ya conocía el valor de AT (base) que es 16
    Puedo calcular el área del triangulo :
    A=(16*24/7)/2
    A= 192/7

    RESPUESTA: EL AREA DEL TRIANGULO ATM ES 192/7 cm^2

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  2. qwesx7/31/2011

    CORRECCIÓN:

    hay un error en uno de los puntos que determina la primera ecuación en vez de (24,6) DEBERÍA SER (24,18)en ese caso la primera ecuación queda
    y-0=3/4(x-0)
    y=3x/4
    la segunda ecuación queda igual y el sistema de ec. cambiaría a
    ecuación: y=3x/4
    ecuación: y-24=-3x/2
    dando como solución (32/3,8)

    y la altura es de 8 cm así que el área de, triangulo es
    (16*8)/2
    64 cm^2

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  3. Profesor J. Herrera8/01/2011

    Alternativa para resolver el problema 53.
    Se prolongan los segnentos DC(->C) (lado del cuadrado)y AP(->P)que se cortan en unpunto que llamaremos E. El triángulo PEC que se forma es semejante con el triángulo ABP. Como sus lados están en la razón 1:3, CE = 8.De lo anterior se deduce que el segmento DE = 32. Por otra parte, los triángulos ATM y EMD son semejantes también siendo su razón de semejanza 1:2.
    A partir de esto, se puede obtener la altura del triágulo ATM y su área. ¡termínenlo!

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  4. Anónimo8/09/2011

    si la razon de semejanda del triangulo ATM y EMD es 1:2 entonces la altura tambien esta en esa razón
    altura triangulo ATM=x altura triangulo EMD=24-x
    (x/24-x)=1/2
    x=(24-x)/2
    2x=24-x
    x=8
    área ATM=16*8/2=64cm^2

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  5. Anónimo8/23/2011

    Sea MS perpendicular a AB, S en AB.

    Sean MS=h, ST=x

    Los triangulos ATD y STM son semejantes.
    TA/TS = DA/MS
    como TA=16, AD = 24
    16/x = 24/h

    Los triangulos ABP y ASM son semejantes, luego
    AB/AS=BP/SM
    24/(16-x) =18/h

    de las dos ecuaciones resulta x=16/3, h=8

    luego, el area del triangulo ATM es
    (16*8)/2
    igual a
    64 cm^2

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